1483 - 格雷码
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通常,人们习惯将所有 nn 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为:00,01,10,11。
格雷码(Gray Code)是一种特殊的 nn 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。
所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为:00,01,11,10。
nn 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:
<ol>
<li>
1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为:0,1。
</li>
<li>
<span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n + 1</span></span>位格雷码的前 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">2<sup>n</sup></span></span>个二进制串,可以由依此算法生成的 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span> 位格雷码(总共 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">2<sup>n</sup></span></span>个 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span> 位二进制串)按<span style="font-weight:bolder;">顺序</span>排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。
</li>
<li>
<span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n + 1</span></span> 位格雷码的后 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">2</span><span class="katex-html"><span class="mord"><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist"><span class="sizing reset-size6 size3 mtight" style="font-size:0.7em;"><span class="mord mathnormal mtight" style="font-family:KaTeX_Math;font-style:italic;"><sup>n</sup></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 个二进制串,可以由依此算法生成的 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span>位格雷码(总共 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">2<sup>n</sup></span></span><sup> </sup>个 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span> 位二进制串)按<span style="font-weight:bolder;">逆序</span>排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。
</li>
</ol>
综上,n + 1 位格雷码,由 n 位格雷码的 2n个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 2n+1 个二进制串。另外,对于 n位格雷码中的 2n个 二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 0 ~ 2n - 1 编号。
按该算法,2 位格雷码可以这样推出:
<ol>
<li>
已知 1 位格雷码为 0,1。
</li>
<li>
前两个格雷码为 00,01。后两个格雷码为 11,10。合并得到 00,01,11,10,编号依次为 0 ~ 3。
</li>
</ol>
同理,3 位格雷码可以这样推出:
<ol>
<li>
已知 2 位格雷码为:00,01,11,10。
</li>
<li>
前四个格雷码为:000,001,011,010。后四个格雷码为:110,111,101,100。合并得到:000,001,011,010,110,111,101,100,编号依次为 0 ~ 7。
</li>
</ol>
现在给出 n,k,请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k号二进制串。
输入格式
仅一行两个整数 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span>,<span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">k</span></span>,意义见题目描述。 <br />
输出格式
仅一行一个 <span class="katex" style="font-size:1.21em;line-height:1.2;font-family:KaTeX_Main;"><span class="katex-mathml">n</span></span>位二进制串表示答案。 <br />
输入输出样例
<span style="font-weight:bolder;">输入 #1</span> <br />
2 3
输出 #1
<div class="output" style="margin-left:0.5em;">
10
</div>
<div class="input">
<span style="font-weight:bolder;">输入 #2</span>复制
3 5
</div>
<div class="output" style="margin-left:0.5em;">
<span style="font-weight:bolder;">输出 #2</span>
111
</div>
<span style="font-weight:bolder;">输入 #3</span>
44 1145141919810
<span style="font-weight:bolder;">输出 #3</span>
00011000111111010000001001001000000001100011 <br />
说明/提示
【样例 1 解释】 <br />
2 位格雷码为:00,01,11,10,编号从 0∼3,因此 3 号串是 10。
【样例 2 解释】
3 位格雷码为:000,001,011,010,110,111,101,100,编号从 0∼7,因此 5 号串是 111。
【数据范围】
对于 50% 的数据:n≤10
对于 80% 的数据:k≤5×106
对于 95% 的数据:k≤263−1
对于 100% 的数据:1≤n≤64 0≤k<2n
输入
输出
样例
输入
输出
来源
noip2019