4.2.4 Cowcycles (cowcycle)

(cowcycle.pas/c/cpp)

秀·谢夫（小奶牛）在花花公子杂志上中了大奖，于是她从农村搬到了城郊的一座别墅中。可是她还常常怀念乡村的生活，总想回到原来的农村逛逛。为了环保，秀决定骑上为她量身定做的奶牛自行车（特殊的自行车，专门为牛蹄设计）。

秀大约有一吨重。同样的，秀在普通的奶牛自行车上，要想骑得平平稳稳，也不是一件容易的事。因此，调节奶牛自行车的变速器让秀心力憔悴。

帮助秀选择她的奶牛自行车前面 F （）个齿轮和后面 R （）个齿轮，使她的 F*R 奶牛自行车符合下面的标准：

<li>
	<span style="font-size:16px;">前面齿轮的型号（齿的数量）必须在给定的范围内。</span>
</li>
<li>
	<span style="font-size:16px;">后面齿轮的型号（齿的数量）必须在给定的范围内。</span>
</li>
<li>
	<span style="font-size:16px;">在每一种齿轮组合中，传动比率就是前面齿轮的齿数除以后面齿轮的齿数所得的商。</span>
</li>
<li>
	<span style="font-size:16px;">最大的传动比率至少是最小的三倍。</span>
</li>
<li>
	<span style="font-size:16px;">齿轮组合的转动比率（已排好序）相邻两项的差的的方差（见下面的例子） 应该达到最小。</span>
</li>

<span style="font-size:16px;">按照下面的公式计算平均数与方差（</span><span class="texhtml" style="font-family:serif;"><i><span style="font-size:16px;">x</span></i><sub><i><span style="font-size:16px;">i</span></i></sub></span><span style="font-size:16px;">&nbsp;代表数据） ：</span>

<img class="tex" alt="

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i " src="http://www.nocow.cn/images/math/8/d/5/8d5ebd0380ca5c62e7005a6279117d49.png" />

<img class="tex" alt="

F=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 " src="http://www.nocow.cn/images/math/7/7/3/7734a8d9436df3254b74eb139ceaa408.png" />

<span style="font-size:16px;">计算并确定最佳齿轮组合（其中 F 个前齿轮，R 个后齿轮），使方差最小。</span>

<b><span style="font-size:16px;">PROGRAM NAME</span></b><span style="font-size:16px;">: cowcycle</span>

<b><span style="font-size:16px;">INPUT FORMAT</span></b><span style="font-size:16px;">:</span>

<span style="font-size:16px;">(file cowcycle.in)</span>

<span style="font-size:16px;">第一行是 F 和 R，表示前齿轮和后齿轮的数量。</span>

<span style="font-size:16px;">第二行包括 4 个数字：F1，F2（25 &lt;= F1 &lt; F2 &lt;= 80），R1，R2（5 &lt;= R1 &lt; R2 &lt;= 40）。从 F1 到 F2 型号的前齿轮都是可用的；从 R1 到 R2 型号的后齿轮都是可用的。至少会有一组合法的解。</span>

<b><span style="font-size:16px;">OUTPUT FORMAT</span></b><span style="font-size:16px;">:</span>

<span style="font-size:16px;">(file cowcycle.out)</span>

<span style="font-size:16px;">在第一行从小到大输出前齿轮的型号，用空格分开。在第二行从小到大输出后齿轮的型号，同样用空格分开。当然，齿轮的齿数一定是整数。</span>

<span style="font-size:16px;">如果有多个解，输出前齿轮齿数最小的那一个（第一个齿轮齿数最小的，若第一个齿轮齿数相等，输出第二个齿轮齿数最小的……依此类推）。如果所有的前齿轮齿数都相等，照着上面的办法处理后齿轮（其实就是把第一个，第二个……齿轮分别设为第一，第二……个关键字来排序）。</span>

<span class="mw-headline" id="SAMPLE_INPUT" style="font-size:16px;">SAMPLE INPUT</span>

2 5
39 62 12 28

<span class="mw-headline" id="SAMPLE_OUTPUT" style="font-size:16px;">SAMPLE OUTPUT</span>

39 53
12 13 15 23 27

<span class="mw-headline" id="Comment" style="font-size:16px;">Comment</span>

<span style="font-size:16px;">注释</span>

<span style="font-size:16px;">这个问题最大的挑战就是“读懂题目”。慢慢读，不要想一步登天。如果你读不懂题目，还是得一遍一遍的把它读进去。</span>

<span style="font-size:16px;">问题要我们找出“最佳齿轮组合”，即传动比率最接近平均数的组合。考虑下面的测试数据：</span>

2 5
39 62 12 28

<span style="font-size:16px;">这意味着有 2 个前齿轮，型号范围在 39..62 ；5个后齿轮，型号范围在 12..28。程序必须检查所有前齿轮组成的有序对（共 62-39+1=24 种齿轮），和所有后齿轮组成的五元组（共 28-12+1=17 种齿轮）。根据组合数学原理，总共有 24!/22!/2! x 17!/5!/12! = 656,880 种可能（我是这么认为的）。</span>

<span style="font-size:16px;">对于每一种可能，做下面的计算。举个例子来说，对于枚举到的第一种情况：前齿轮是 39 和 40，后齿轮是 12，13，14，15 和 16。</span>

<span style="font-size:16px;">首先，计算所有可能的传动比率：</span>

39/12 = 3.25000000000000000000
39/13 = 3.00000000000000000000
39/14 = 2.78571428571428571428
39/15 = 2.60000000000000000000
39/16 = 2.43750000000000000000
40/12 = 3.33333333333333333333
40/13 = 3.07692307692307692307
40/14 = 2.85714285714285714285
40/15 = 2.66666666666666666666
40/16 = 2.50000000000000000000

<span style="font-size:16px;">然后，对它们进行排序：</span>

39/16 = 2.43750000000000000000
40/16 = 2.50000000000000000000
39/15 = 2.60000000000000000000
40/15 = 2.66666666666666666666
39/14 = 2.78571428571428571428
40/14 = 2.85714285714285714285
39/13 = 3.00000000000000000000
40/13 = 3.07692307692307692307
39/12 = 3.25000000000000000000
40/12 = 3.33333333333333333333

<span style="font-size:16px;">然后，计算差的绝对值：</span>

2.43750000000000000000 - 2.50000000000000000000 = 0.06250000000000000000
2.50000000000000000000 - 2.60000000000000000000 = 0.10000000000000000000
2.60000000000000000000 - 2.66666666666666666666 = 0.06666666666666666666
2.66666666666666666666 - 2.78571428571428571428 = 0.11904761904761904762
2.78571428571428571428 - 2.85714285714285714285 = 0.07142857142857142857
2.85714285714285714285 - 3.00000000000000000000 = 0.14285714285714285715
3.00000000000000000000 - 3.07692307692307692307 = 0.07692307692307692307
3.07692307692307692307 - 3.25000000000000000000 = 0.17307692307692307693
3.25000000000000000000 - 3.33333333333333333333 = 0.08333333333333333333 

<span style="font-size:16px;">然后计算平均数和方差。</span>

<span style="font-size:16px;">平均数是（我是这么认为的）0.0995370370370370370366666.。方差大约是 0.00129798488416722。</span>

<span style="font-size:16px;">当然这个例子是错误的，因为它的最大传动比率没有比最小传动比率大3倍。</span>

<span style="font-size:16px;">找出一个组合，拥有最小的方差，同时最大传动比率至少是最小传动比率的3倍。</span>

USACO-USACO阶梯-第4章.高级算法与困难的习题